Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点P（，）．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）过点F₂的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求出长轴长，则离心率可求；
（Ⅱ）分类设出直线l的方程，斜率不存在时极易验证不合题意，斜率存在时，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数关系得到两交点P，Q的横坐标的和与积，由得其数量积等于0，代入坐标后即可计算k的值，则直线l的方程可求．
解答：解：（Ⅰ）2a=|PF₁|+|PF₂|=．
所以a=．又由已知c=1，所以椭圆C的离心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的方程为．
当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由，得（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
，．
因为，所以，
即
=
=．
解得，即k=．
故直线l的方程为或．
点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用方程根与系数关系解题，是难题．