Question

（1）对于数列{a_n}，若存在常数T≥0，使得对于任意n∈N^*，均有|a_n|≤T，则称{a_n}为有界数列．以下数列{a_n}为有界数列的是

 

；（写出满足条件的所有序号）
①a_n=n-2②an=

1

n+2

③

an

an+1

=2，a1=1
（2）数列{a_n}为有界数列，且满足a_n+1=-a_n²+2a_n，a₁=t（t＞0），则实数t的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：（1）①a_n=n-2，|a_n|=|n-2|≥0，n＞2时数列单调递增，不存在实数T满足|a_n|≤T
②an=

1

n+2

＞0且数列单调递减，则|an|≤a1=

1

3

，故存在T=

1

3

③

an

an+1

=2，a1=1可得an=(

1

2

)n-1＞0单调递减的数列，a_n≤a₁=1，存在T=1
（2）易知，a_n+1=-（a_n-1）²+1由此得通项an=1-(t-1)2n-1，由有界数列定义知，|t-1|≤1．结合t＞0，可求t的范围

解答：解：（1）①a_n=n-2，|a_n|=|n-2|≥0，不存在实数T满足|a_n|≤T，①错误
②an=

1

n+2

＞0且数列单调递减，则|an|≤a1=

1

3

，则T=

1

3

时，|an|≤

1

3

，②正确
③

an

an+1

=2，a1=1可得an=(

1

2

)n-1＞0单调递减的数列，a_n≤a₁=1，T=1时，|a_n|≤1，③正确
（2）∵a_n+1=-（a_n-1）²+1≤1
∴1-a_n+1=（1-a_n）²∴lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n）
即

lg(1-an+1)

lg(1-an)

=2
由等比数列的通项公式可得，an=1-(t-1)2n-1
由有界数列定义知，|t-1|≤1．又t＞0，故t的取值范围是0＜t≤2．
故答案为：②③；0＜t≤2

点评：本题主要考查了数列有界性的应用，实质是利用数列的单调性的定义求解数列的范围，解t的范围的关键是要求出数列的通项公式