题目内容
（2010•重庆一模）对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．
（Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
（Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前n项和Sn构成的数列{Sn}是有界数列？若存在，求数列{an}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）判断数列an=
+
+
+…+
(n≥2)是否为有界数列，并证明．
（Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
（Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前n项和Sn构成的数列{Sn}是有界数列？若存在，求数列{an}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）判断数列an=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n-1 |
分析：（Ⅰ）求an=2+sinn的值域为1≤an=2+sinn≤3，根据有界数列的定义可以判断；
（Ⅱ）对公比q进行讨论，当0＜q＜1时，Sn=
＜
，易知正数数列{Sn}满足|Sn|＜
，即为有界数列；当q=1时，Sn=na1→+∞，故为无界数列；当q＞1时，Sn=a1+a2+…+an＞na1→+∞，此时为无界数列，从而得结论．
（Ⅲ）{an}为无界数列，利用放缩法，转换为利用等比数列求和可证．
（Ⅱ）对公比q进行讨论，当0＜q＜1时，Sn=
| a1(1-qn) |
| 1-q |
| a1 |
| 1-q |
| a1 |
| 1-q |
（Ⅲ）{an}为无界数列，利用放缩法，转换为利用等比数列求和可证．
解答：解：（Ⅰ）1≤an=2+sinn≤3，
故{an}为有界数列…（2分）
（Ⅱ）设公比为q，当0＜q＜1时，Sn=
＜
，
则正数数列{Sn}满足|Sn|＜
，即为有界数列；
当q=1时，Sn=na1→+∞，故为无界数列；
当q＞1时，Sn=a1+a2+…+an＞na1→+∞，此时为无界数列．
综上：当且仅当0＜q＜1时，{Sn}为有界数列…（6分）．
（Ⅲ）{an}为无界数列，事实上an=
+
+
+…+
＞
+
+
+…+
∴2an＞
+
+
+
+…+
+
∴2a2n＞
+
+
+
+…+
=(
+
)+(
+
+
+
)+(
+…+
)+…+(
+
+…+
)＞
×2+
×4+
×8+…+
×2n=
∴a2n＞
故当n无限增大时an也无限增大，
所以{an}无界…（12分）．
故{an}为有界数列…（2分）
（Ⅱ）设公比为q，当0＜q＜1时，Sn=
| a1(1-qn) |
| 1-q |
| a1 |
| 1-q |
则正数数列{Sn}满足|Sn|＜
| a1 |
| 1-q |
当q=1时，Sn=na1→+∞，故为无界数列；
当q＞1时，Sn=a1+a2+…+an＞na1→+∞，此时为无界数列．
综上：当且仅当0＜q＜1时，{Sn}为有界数列…（6分）．
（Ⅲ）{an}为无界数列，事实上an=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 2n |
∴2an＞
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n |
∴2a2n＞
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2•2n |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+2 |
| 1 |
| 2n+2n |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 2n×2 |
| n |
| 2 |
∴a2n＞
| n |
| 4 |
故当n无限增大时an也无限增大，
所以{an}无界…（12分）．
点评：本题以数列为载体，考查新定义，关键是理解新定义，对等比数列应注意求和公式的使用条件．
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