Question

设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；
（2）设集合A={x|f′（x）＜0}，B={x|

x-4

x-3

＞0}，若A∩B元素中有唯一的整数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，由f（x）在x=3处取得极值，得f′（3）=0，由此列式求出a的值；
（2）求解分式不等式化简集合B，分a＞1和a＜1求解f′（x）＜0，然后结合数轴，利用A∩B元素中有唯一的整数，求a的取值范围．

解答：解：（1）由函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，得
f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1），
∵f（x）在x=3取得极值，∴f′（3）=6（3-a）（3-1）=0，解得a=3．
经检验知，当a=3时，x=3为f（x）的极值点，故a=3；
（2）由

x-4

x-3

＞0，解得x＜3或x＞4．
∴B=（-∞，3）∪（4，+∞），
集合A={x|f′（x）＜0}，
由f′（x）=6（x-a）（x-1）．
当a＞1时，A=（1，a），如图，

该整数为2，结合数轴可知2＜a≤5．
当a＜1时，A=（a，1），如图，

该整数为0，结合数轴可知-1≤a＜0．
当a=1时，A=∅，不满足条件．
综上可知，a的取值范围是：[-1，0）∪（2，5]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了不等式的解法，训练了利用交集求解参数的取值范围，是中档题．