Question

设x，y，z∈R⁺，求证：

2x2

y+z

+

2y2

z+x

+

2z2

x+y

≥x+y+z．

Answer 1

分析：由基本不等式可得  

2x2

y+z

+

y+z

2

 ≥ 2x   ①，

2y2

x+z

+

x+z

2

 ≥  2y ②，

2z2

x+y

+

x+y

2

≥  2z   ③，
 把 ①②③相加可得 即可证得结论．

解答：证明：∵x，y，z∈R⁺，
∴由基本不等式可得  

2x2

y+z

+

y+z

2

 ≥ 2x①，

2y2

x+z

+

x+z

2

 ≥  2y ②，

2z2

x+y

+

x+y

2

 ≥  2z③．
把 ①②③相加可得

2x2

y+z

+

2y2

z+x

+

2z2

x+y

+ x + y + z≥2x+2y+2z，∴

2x2

y+z

+

2y2

z+x

+

2z2

x+y

≥ x + y + z成立．

点评：本题考查用综合法证明不等式，基本不等式的应用，得到①②③这三个式子，是解题的关键．