Question

已知||=2c，||=2a（a＞c），2=，2=，•=0（G为动点） （a＞c）．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与EF（或EF的延长线）有唯一的交点C，证明：||＜．

Answer 1

解：（1）|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|FG|=2a（＞|EF|），∴点P的轨迹为椭圆
∴轨迹方程为
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．A，B的中点M（x₀，y₀），C（t，0）．
当k_CM不存在时，显然成立．
当k_CM存在时，k_CM=．由“点差法”得：
∵k_AB•k_CM=-1.．
分析：（1）根据向量式转化成：|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|FG|=2a（＞|EF|），结合椭圆的定义得点P的轨迹为椭圆，最后写出轨迹方程即可；
（2）先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．A，B的中点M（x₀，y₀），C（t，0）．分类讨论：①当k_CM不存在时，显然成立．
②当k_CM存在时，利用“点差法”得直线AB的斜率，再结合题中条件：“k_AB•k_CM=-1．”即可证得结论．
点评：本小题主要考查椭圆的应用、轨迹方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用设而不求的方法：“点差法”．