Question

【题目】已知函数，其中，，为自然对数的底数.

若，，①若函数单调递增，求实数的取值范围；②若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

若，且存在两个极值点，，求证：.

Answer 1

【答案】①；②；证明见解析.

【解析】

①问题等价于在上恒成立，即对任意恒成立，由此得解；②分及讨论，容易得出结论；

解法一：表示出，令，求导后易证；令，，利用导数可证，进而得证；解法二：不等式的右边同解法一；由当时，可得，由此得出

，可得证.

解：①因为单调递增，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，

，即；

②由①当时，单调递增，故成立，符合题意，

当时，令得，

在上递减，不合题意；

综上，实数的取值范围为.

解法一：因为，存在两个极值点，，

所以有两个不同的解，故，又，所以，

设两根为，，则，，故，

令，因为，所以在上递增，所以；

又

令，，则，

令得，又，则，

即，记为，则在上递增，在上递减，

又，，所以，即，综上：.

解法二：不等式的右边同解法一；

由当时，恒成立，所以有当时，，所以

.