Question

【题目】对于定义在上的函数，如果存在两条平行直线与，使得对于任意，都有恒成立，那么称函数是带状函数，若，之间的最小距离存在，则称为带宽.

（1）判断函数是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；

（2）求证：函数（）是带状函数；

（3）求证：函数（）为带状函数的充要条件是.

Answer 1

【答案】（1）是，带宽；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）先理解带状函数的特征，再求函数的值域即可得解；

（2）由函数，（）的图像表示双曲线 在第一象限的部分，

再结合双曲线的渐近线即可找出两平行直线；

（3）由分段函数的图像特征，结合带状函数的定义，分别证明充分性及必要性即可.

解：（1）因为，所以，

取直线 ，则恒成立，

即函数是带状函数，带宽为；

（2）因为，（）表示双曲线 在第一象限的部分，又双曲线的渐近线方程为，故函数满足，则函数为有一个宽带为的带状函数；

（3）函数 ，

先证充分性，当时，，

不妨设 ，则，即存在直线，，满足题意，即函数为带状函数，

再证必要性，当函数（）为带状函数，

则存在，又，当，则直线与两直线，中至少一条相交，故不满足，即不满足题意，即，

故函数（）为带状函数的充要条件是.