Question

已知函数
（1）求；
（2）已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（3） 求证：a₁a₂a₃…a_n＞．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据F（x）的解析式化简得到F（x）+F（1-x）=3，所以把所求的式子乘以2后，倒序相加即可得到所求式子的值；
（2）先把x=a_n代入f（x）的解析式中，确定出f（a_n），由a_n+1=F（a_n），两边都减去1，化简后即可得到数列是以2为公差、1为首项得等差数列，写出数列的通项公式即可求出数列{a_n}的通项公式；
（3）根据（2n）²＞（2n）²-1，得到，根据（2）中求出的数列{a_n}的通项公式列举出各项，收缩不等式后约分即可得证．
解答：解：（1）因为，
所以由倒序相加可得：2[]
=[F（）+F（）]+…+[F（）+F（）]
=3×2010=6030，
则=3015；
（2）由a_n+1=F（a_n），两边同时减去1，得，
所以，
故是以2为公差、1为首项得等差数列．
所以，由此
（3）因为（2n）²＞（2n）²-1=（2n+1）（2n-1），
所以，于是
所以
＞．
点评：此题考查了等差数列的通项公式及等差数列的确定方法，是一道中档题．本题的技巧性比较强如第1问中求出F（x）+F（1-x）的值，然后利用倒序相加的方法来求解；第3问证明不等式时注意利用不等式的放缩的方法来证明．