Question

设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为

3

4

和

4

5

，且各次射击相互独立．
（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；
（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式和加法公式，
（Ⅰ）甲、乙各射击一次，甲命中但乙未命中目标，分为两步，由甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为

3

4

和

4

5

，我们易得甲命中但乙未命中目标的概率P(A•

.

B

)=P(A)•P(

.

B

)，代入计算即可得到结果；
（Ⅱ）甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等，包括三种情况，即均不中，均中一次，均中两次，则两人命中次数相等的概率为
P（A₀B₀）+P（A₁B₁）+P（A₂B₂），代入计算即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，
则A、B相互独立，
且P（A）=

3

4

，P(B)=

4

5

，
从而甲命中但乙未命中目标的概率为
P(A•

.

B

)=P(A)•P(

.

B

)=

3

4

×(1-

4

5

)=

3

20

.
（Ⅱ）设A₁表示甲在两次射击中恰好命中k次，B
₁表示乙有两次射击中恰好命中l次．
依题意有P(A1)=

C

k 2

(

3

4

)k(

1

4

)2-k，k=0，1，2.
P(B1)=

C

l 2

(

4

5

)l(

1

5

)2-l，l=0，1，2.
由独立性知两人命中次数相等的概率为
P（A₀B₀）+P（A₁B₁）+P（A₂B₂）
=P（A₀）P（B₀）+P（A₁）P（B₁）+P（A₂）+P（B₂）
(

1

4

)2•(

1

5

)2+

C

1 2

•

3

4

•

1

4

?

C

2 3

•

4

5

•

1

5

+

C

2 2

•(

3

4

)2

C

2 2

•(

4

5

)2
=

1

16

×

1

25

+

3

4

×

4

25

+

9

16

×

16

25

=

193

400

=0.4825.

点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．