Question

在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a²+b²=c²+ab．
（1）若，且c=2，求△ABC的面积；
（2）已知向量=（sinA，cosA），=（cosB，-sinB），求||的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据余弦定理结合题中平方关系的等式，算出cosC=，从而得出C=．再由正弦定理结合题中比例式，化简可得sin2A=sin2B，因此△ABC是等边三角形，不难得出△ABC的面积．
（2）首先计算==1，且•=sin（A-B），代入表达式并化简，得=，根据角B的取值范围结合正弦函数的单调性，可得，两边开方即得||的取值范围．
解答：解析：（1）在△ABC中，∵a²+b²=c²+ab，即c²=a²+b²-ab，
∴cosC==，结合C∈（0，π）得C=
又∵，可得，
∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴A=B或
当时，与C=矛盾，故A=B，可得△ABC是等边三角形．
∵c=2，∴△ABC的面积…（6分）
（2）∵向量=（sinA，cosA），=（cosB，-），
∴=1，=1，•=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）
 因此，
∵A+B=，得A=-B
∴=
∵B∈（0，），得-2B∈（-，）…（10分）
∴当-2B=-时，有最小值-1，此时有最大值9；
当-2B=时，有最大值1，此时有最小值1．
可得，开方得
故||的取值范围[1，3]．                             …（12分）
点评：本题是一道三角函数综合题，着重考查了平面向量数量积的坐标表示、模的公式，以及运用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．