Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）设M是△ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(M)=(

1

2

，x，y)，求

1

x

+

4

y

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件，利用平面向量数量积公式求出|

AB

|•|

AC

|=4，再由正弦定理和三角形面积公式能求出△ABC的面积．
（Ⅱ）由S_△ABC=S_△MBC+S_△MCA+S_△MAB，且m=S△MBC=

1

2

，推导出x+y=

1

2

，由此利用均值不等式能求出

1

x

+

4

y

的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知：

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC=2

3

∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
∴|

AB

|•|

AC

|=4，（3分）
∴S△ABC=

1

2

•|

AB

|•|

AC

|•sin∠BAC=1（6分）
（Ⅱ）∵S_△ABC=S_△MBC+S_△MCA+S_△MAB，且m=S△MBC=

1

2

，
∴S△MCA+S△MAB=

1

2

，
∴x+y=

1

2

（8分）
∴

1

x

+

4

y

=2(

1

x

+

4

y

)•

1

2

=2(

1

x

+

4

y

)•(x+y)
=2(1+

y

x

+

4x

y

+4)≥2•(5+4)=18，
∴min(

1

x

+

4

y

)=18
当且仅当

y

x

=

4x

y

，即y=

1

3

，x=

1

6

时取等号，
综上所述，

1

x

+

4

y

的最小值是18．

点评：本题考查三角形的面积的求法，考查两数和的最小值的求法，涉及到平面向量的数量积、正弦定理、均值定理等知识点，是中档题．