Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）设直线MF交该抛物线于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知可设直线AB的方程为y=kx+1（k≠0由消去y，得x²-4kx-4=0由x²=4y，得，所以，
分别求得直线AM的方程，BM的方程联立求解；
（Ⅱ）先由（I）得直线MF方程，与抛物线方程联立消去y，又因为k_MF•k_AB=-1，所以AB⊥CD，分别求得|AB|，|CD|的长度，由面积公式求解．
解答：解：（Ⅰ）由已知，得F（0，1），显然直线AB的斜率存在且不为0，
则可设直线AB的方程为y=kx+1（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由消去y，得x²-4kx-4=0，显然△=16k²+16＞0．
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．（2分）
由x²=4y，得，所以，
所以，直线AM的斜率为，
所以，直线AM的方程为，又x₁²=4y₁，
所以，直线AM的方程为x₁x=2（y+y₁）①．（4分）
同理，直线BM的方程为x₂x=2（y+y₂）②．（5分）
②-①并据x₁≠x₂得点M的横坐标，
即A，M，B三点的横坐标成等差数列．（7分）

（Ⅱ）由①②易得y=-1，所以点M的坐标为（2k，-1）（k≠0）．
所以，
则直线MF的方程为，（8分）
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由消去y，得，显然，
所以，x₃x₄=-4．（9分）
又=．（10分）
=．（11分）
因为k_MF•k_AB=-1，所以AB⊥CD，
所以，，
当且仅当k=±1时，四边形ACBD面积的取到最小值32．（13分）
点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，渗透着导数、数列、平面几何的知识，培养学生综合运用知识的能力．