Question

（2009•温州一模）如图，已知抛物线x²=4y，过抛物线上一点A（x₁，y₁）（不同于顶点）作抛物线的切线l，并交x轴于点C，在直线y=-1上任取一点H，过H作HD垂直x轴于D，并交l于点E，过H作直线HF垂直直线l，并交x轴于点F．
（I）求证：|OC|=|DF|；
（II）试判断直线EF与抛物线的位置关系并说明理由．

Answer 1

分析：（I）先利用导数的几何意义，求出过抛物线上一点A（x₁，y₁）（不同于顶点）作抛物线的切线l的方程，令y=0即可得C点的坐标，再由HF垂直直线l，写出直线HF的方程，令y=0即可得F点的坐标，从而可证|OC|=|DF|
（II）先求出E点的坐标，由（I）知F的坐标，从而写出直线EF的方程，再与抛物线x²=4y联立，证明△=0，即可证明直线EF与抛物线的位置关系为相切

解答：解：（I）∵y=

x2

4

∴y′=

x

2

∴kl=y′|x=x1=

x1

2

∴l：y=

x1

2

(x-x1)+

x 2 1

4

=

x1

2

x-

x 2 1

4

∴C(

x1

2

，0)
设H（a，-1）∴D（a，0）FH：y=-

2

x1

(x-a)-1∴F(a-

x1

2

，0)
∴|OC|=|DF|=|

x1

2

|
（II）∵E(a，

x1a

2

-

x12

4

)，F(a-

x1

2

，0)
∴kEF=

x1a 2 - x 2 1 4

x1 2

=a-

x1

2

∴EF：y=(a-

x1

2

)x-(a-

x1

2

)2
由

x2=4y y=(a- x1 2 )x-(a- x1 2 )2

⇒x2-4(a-

x1

2

)x+4(a-

x1

2

)2=0
△=16(a-

x1

2

)2-16(a-

x1

2

)2=0
∴直线EF与抛物线相切．

点评：本题考察了直线与抛物线的位置关系，特别注意当直线与抛物线相切时，可利用导数的几何意义，也可联立通过判别式△解决问题