Question

已知

a

=（

3

，cosx），

b

=（cos²x，sinx），函数f（x）=

a

•

b

-

3

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

4

]，求函数f（x）的取值范围；
（Ⅲ）函数f（x）的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求函数f（x）的单调递增区间，先利用平面向量点坐标计算公式计算出

a

•

b

的值，在利用三角函数两角和公式和三角函数的性质求其单调性．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）所化简的结果，再根据定义域和三角函数讨论函数的最值．
（Ⅲ）利用图象平移相关知识即可得到结果．

解答：解：（1）函数f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

(

1+cos2x

2

)+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)
∴由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
所以f（x）的单调递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]k∈Z（5分）
(2)∵x∈[0，

π

4

]∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴当2x+

π

3

=

π

2

即x=

π

12

时f(x)max=1
当2x+

π

3

=

5π

6

即x=

π

4

时f(x)min=

1

2

∴

1

2

≤f(x)≤1(2)∵x∈[0，

π

4

]∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴当2x+

π

3

=

π

2

即x=

π

12

时f(x)max=1
当2x+

π

3

=

5π

6

即x=

π

4

时f(x)min=

1

2

∴

1

2

≤f(x)≤1
（3）当f（x）的图象上所有的点向右平移

π

6

个单位长度得到y=sin2x的图象，则其对应的函数即为奇函数．（12分）

点评：本题考查平面向量的数量积运算，同时考查函数的单调性和奇偶性等相关性质．