Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面SAP；
（Ⅱ）求点A到平面SPD的距离；
（Ⅲ）求二面角A-SD-P的大小．

Answer 1

【答案】分析：方法一：
（1）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．在题目告知线段长度的前提下，可以考虑用勾股定理去寻找垂直
（2）由第（1）问的结论易得平面SPD⊥平面SAP，SP为交线，所以只要过A点作SP的垂线就可以了
（3）二面角的度量关键在于作出它的平面角，第（3）问中构造二面角的平面角的方法是典型的三垂线法．
方法二：
在题目条件中有直线与平面垂直的情况下，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．比如此题中，我们可以以A为坐标原点，分别以BA、DA、SA为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
解答：（Ⅰ）证明：因为SA⊥底面ABCD，
所以∠SBA是SB与平面ABCD所成的角．
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1．
易求得，，又因为AD=2，
所以AD²=AP²+PD²，所以AP⊥PD．
因为SA⊥底面ABCD，PD?平面ABCD，
所以SA⊥PD．由于SA∩AP=A，
所以PD⊥平面SAP．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，PD⊥平面SAP．又因为PD?平面SPD
所以平面SPD⊥平面SAP，过A作AH⊥SP于H，（如图）则AH⊥平面SPD，
所以线段AH的长度为点A到平面SPD的距离．
在Rt△SAP中，易求得，所以．
所以点A到平面SPD的距离为．（9分）

（Ⅲ）解：设Q为AD中点．连接PQ，由于SA⊥底面ABCD，
且SA?平面SAD，则平面SAD⊥平面ABCD．
因为PQ⊥AD，所以PQ⊥平面SAD．
过Q作QR⊥SD，垂足为R，连接PR，
由三垂线定理可知PR⊥SD，
所以∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．
容易证明△DRQ∽△DAS，则，
因为DQ=1，SA=1，，所以．
在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，所以，
所以二面角A-SD-P的大小为．（14分）

解法二：
因为SA⊥底面ABCD，
所以∠SBA是SB与平面ABCD所成的角．
由已知∠SBA=45°，
所以AB=SA=1．
建立空间直角坐标系（如图）．
由已知，P为BC中点．
于是A（0，0，0）、B（1，0，0）、P（1，1，0）、D（0，2，0）、S（0，0，1）．
（Ⅰ）易求得，，．
因为，，
所以AP⊥PD，PS⊥PD．
因为AP∩PS=P，所以PD⊥平面SAP．（4分）
（Ⅱ）设平面SPD的法向量为n=（x，y，1），
由得解得，
所以．又因为，
所以点A到平面SPD的距离．（9分）
（Ⅲ）因为AB⊥平面SAD，所以是平面SAD的法向量，易得．
由（Ⅱ）知平面SPD的法向量，
所以．
所以二面角A-SD-P的大小为．（14分）
点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力