题目内容
【题目】已知椭圆
过点
，且离心
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
，
是椭圆上异于点
的任意两点，直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，且
，试问当
时，直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.
【答案】（1）
.（2）直线
恒过一定点
.
【解析】
（1）由已知得
，再由离心率和
关系，即可求解；
（2）根据已知可得直线斜率存在，设其方程为
，将直线方程与椭圆方程联立，消去
，得到
横坐标的关系，并将
用横坐标表示，再利用横坐标关系，化简得到
等量关系，即可得出结论.
（1）将点
代入椭圆方程得，
，
所以椭圆
的标准方程为.
（2）直线恒过一定点.
理由：直线的斜率存在，设其方程为，
，
，联立椭圆及直线方程，
消去得
，
，
，
，
，
，
①，
，
，代入①得，
，
解得
(舍)或
，
因为
，
此时
成立，
所以
恒过定点.
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