Question

（2012•河南模拟）设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₂X₁+log₂₀₁₂X₂+…+log₂₀₁₂X₂₀₁₁的值为

-1

．

Answer 1

分析：由题意可得P（1，1），f′（x）=（n+1）xⁿ，根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，切线方程，在方程中，令y=0可得，x_n=

n

n+1

，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₁=

1

2

•

2

3

•

3

4

…

2011

2012

，代入可求出答案．

解答：解：由题意可得P（1，1）
对函数f（x）=xⁿ⁺¹求导可得，f′（x）=（n+1）xⁿ
∴y=f（x）在点P处的切线斜率K=f′（1）=n+1，切线方程为y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得，x_n=

n

n+1

∴x₁x₂…x₂₀₁₁=

1

2

•

2

3

•

3

4

…

2011

2012

=

1

2012

∴log₂₀₁₂x₁+log₂₀₁₂x₂+…+log₂₀₁₂x₂₀₁₁=log₂₀₁₂（x₁x₂…x_n）
=log₂₀₁₂

1

2012

=-1
故答案为：-1

点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用，累乘及对数的运算性质的综合应用，还考查了基本运算的能力．