Question

（本小题满分1２分）
设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是和的等比中项．
（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明；
（Ⅲ）设集合，，且，若存在∈，使对满足的一切正整数，不等式恒成立，求这样的正整数共有多少个？

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，，且． ………………………1分
当时，，解得．   ……………………………2分
当时，有．
于是，即．
于是，即．
因为，所以．
故数列是首项为2，公差为2的等差数列，且．……………………4分
（Ⅱ）因为，则，…………………………………5分
所以…7分
（Ⅲ）由，得，所以． …… 9分
由题设，，，…，，，，…，．
因为∈M，所以，，…，均满足条件．…………………10分
且这些数组成首项为，公差为的等差数列．                                                                     
设这个等差数列共有项，则，解得．
故集合M中满足条件的正整数共有450个．…………………………12分

略