Question

已知i是虚数单位，使（1+i）ⁿ为实数的最小正整数n是

 

．

Answer 1

分析：把复数的代数形式变化为三角形式，写出三角形式乘方的结果，要使的表示式是一个实数，则表示式的虚部为0，解出三角函数的方程，得到n的最小值．

解答：解：∵（1+i）ⁿ=(

2

)n(

2

2

+i

2

2

)n=(

2

)n(cos n

π

4

+isin n

π

4

)
（1+i）ⁿ为实数，
∴sin

nπ

4

=0，
∴

nπ

4

=kπ，k∈z
∴使（1+i）ⁿ为实数的最小正整数n是4，
故答案为：4

点评：本题考查复数的乘方，复数两种形式的互化，复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．