Question

7．己知函数f（x）=x³+2x²f'（1）+2，函数f（x）在点（2，f（2））的切线的倾斜角为α，则sin²（π+α）-sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{3π}{2}$-α）的值为（　　）

• A． $\frac{9}{17}$
• B． $\frac{20}{17}$
• C． $\frac{3}{16}$
• D． $\frac{21}{19}$

Answer 1

分析 对函数f（x）求导，令x=1求出f′（1）的值，再求出f′（2）的值即为tanα，利用诱导公式化简sin²（π+α）-sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{3π}{2}$-α），弦化切求值即可．

解答 解：∵函数f（x）=x³+2x²f'（1）+2，
∴f′（x）=3x²+4xf′（1），
∴f′（1）=3+4f′（1），
解得f′（1）=-1，
∴f（x）=x³-2x²+2，
∴f′（2）=3×2²-4×2=4，
函数f（x）在点（2，f（2））的切线的斜率为tanα=4，
∴sin²（π+α）-sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{3π}{2}$-α）=sin²α-cosα•（-sinα）
=$\frac{{sin}^{2}α+sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$
=$\frac{{tan}^{2}α+tanα}{{tan}^{2}α+1}$
=$\frac{{4}^{2}+4}{{4}^{2}+1}$
=$\frac{20}{17}$．
故选：B．

点评 本题考查了函数导数的应用问题，也考查了诱导公式以及三角函数求值问题，是综合性题目．