Question

如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，从而可得B（4，12），利用B在x²=2py（p＞0）上，可求抛物线E的方程；
（2）由（1）知，，，设P（x，y），可得l：，与y=-1联立，求得取x=2，x=1，猜想满足条件的点M存在，再进行证明即可．
解答：解：（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，
设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12
∵B（4，12）在x²=2py（p＞0）上，∴
∴p=2，
∴抛物线E的方程为x²=4y；
（2）由（1）知，，
设P（x，y），则x≠0．l：即
由得，∴
取x=2，此时P（2，1），Q（0，-1），以PQ为直径的圆为（x-1）²+y²=2，交y轴于点M₁（0，1）或M₂（0，-1）
取x=1，此时P（1，），Q（-，-1），以PQ为直径的圆为（x+）²+（y+）²=2，交y轴于点M₃（0，1）或M₄（0，-）
故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下
∵
∴=2y-2-2y+2=0
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．
点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．