题目内容
设等比数列{an}的前n项和为Sn，等差数列bn的前n项和为Tn，已知Sn=2n+1-c+1（其中c为常数），b1=1，b2=c．（1）求常数c的值及数列{an}，bn的通项公式an和bn．
（2）设dn=
| bn |
| an |
（3）试比较
| 1 |
| T1 |
| 1 |
| T2 |
| 1 |
| T3 |
| 1 |
| Tn |
分析：（1）由题设知，Sn-1=2n-c+1，an=Sn-Sn-1=2n（n≥2），所以a1=21=2；另一方面，当n=1时，a1=S1=22-c+1=5-c，所以c=3，
从而bn=2n-1．
（2）由dn=
，知Dn=d1+d2+d3+d4+…+dn-1+dnDn=
+
+
+
++
+
，再用错位相减法求出Dn=3-
．然后利用Dn是单调递增的，求实数m的最大值和整数k的最小值．
（3）由bn=2n-1得Tn=n2，
=
＜
=
-
，所以由裂项求和法知
+
+
++
＜2．
从而bn=2n-1．
（2）由dn=
| 2n-1 |
| 2n |
| 1 |
| 21 |
| 3 |
| 22 |
| 5 |
| 23 |
| 7 |
| 24 |
| 2n-3 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
| 2n |
| 2n+3 |
| 2n |
（3）由bn=2n-1得Tn=n2，
| 1 |
| Tn |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| n(n-1) |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| T1 |
| 1 |
| T2 |
| 1 |
| T3 |
| 1 |
| Tn |
解答：解：（1）由题可得当n≥2时，Sn-1=2n-c+1
从而an=Sn-Sn-1=2n（n≥2），
又由于{an}为等比数列，所以an=2n（n∈N*），
所以a1=21=2；另一方面，当n=1时，a1=S1=22-c+1=5-c
所以c=3，从而bn=2n-1
（2）由（1）得dn=
所以Dn=d1+d2+d3+d4++dn-1+dnDn=
+
+
+
++
+
①
从而
Dn=
+
+
+
++
+
②
①-②得
Dn=
+
+
+
++
-
解得Dn=3-
由于Dn是单调递增的，且
＞0，所以D1≤Dn＜3，即
≤Dn＜3
所以实数m的最大值为
，整数k的最小值为3．
（3）由bn=2n-1可求得Tn=n2，
当n≥2时，
=
＜
=
-
所以
+
+
++
=1+(
-
)+(
-
)+(
-
)++(
-
)=2-
＜2
所以
+
+
++
＜2
从而an=Sn-Sn-1=2n（n≥2），
又由于{an}为等比数列，所以an=2n（n∈N*），
所以a1=21=2；另一方面，当n=1时，a1=S1=22-c+1=5-c
所以c=3，从而bn=2n-1
（2）由（1）得dn=
| 2n-1 |
| 2n |
所以Dn=d1+d2+d3+d4++dn-1+dnDn=
| 1 |
| 21 |
| 3 |
| 22 |
| 5 |
| 23 |
| 7 |
| 24 |
| 2n-3 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
| 2n |
从而
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| 5 |
| 24 |
| 7 |
| 25 |
| 2n-3 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
①-②得
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 21 |
| 2 |
| 22 |
| 2 |
| 23 |
| 2 |
| 24 |
| 2 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
解得Dn=3-
| 2n+3 |
| 2n |
由于Dn是单调递增的，且
| 2n+3 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
所以实数m的最大值为
| 1 |
| 2 |
（3）由bn=2n-1可求得Tn=n2，
当n≥2时，
| 1 |
| Tn |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| n(n-1) |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
所以
| 1 |
| T1 |
| 1 |
| T2 |
| 1 |
| T3 |
| 1 |
| Tn |
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
所以
| 1 |
| T1 |
| 1 |
| T2 |
| 1 |
| T3 |
| 1 |
| Tn |
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的运用．
练习册系列答案
相关题目
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2+a5=0，则下列式子中数值不能确定的是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若
=3，则
=（ ）
| S6 |
| S3 |
| S9 |
| S6 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、1 |