题目内容
【题目】已知函数
，
（1）若
恒成立，求实数
的最大值；
（2）设函数
，求证：
.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）根据
，对不等式进行参变分离，得到
，
令
，即
恒成立等价于
，然后通过求导，得出
即可；
（2）由（1）知，
，只需证
.
变形
，令
，故只需证
即可，
通过求导得到
，
注意到，还需要令
进行二次求导，进而判断出
的正负情况，然后，得到
的单调性，进而得出
，即可证明结论成立.
解：（1）由题意，原不等式可化为，
令，则
，
由
得
在
上单调递增减；
由
得在
上单调递增.
所以
，所以
.
（2）由（1）知，，只需证.
令，则，
令，
，在
上单调递增，
注意到
，所以当
，
，
，在
上单调递减；
当
，
，
，在
上单调递增.
所以
，
∴，当且仅当
时等号成立.
而，当且仅当
时等号成立.
所以
，从而
.
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