题目内容
8．
如图，F1，F2分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2$\sqrt{2}$，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F2A|=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，若MF2，NF2的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．
分析 （Ⅰ）由已知求得$c=\sqrt{2}$，a=2，结合隐含条件得到b2=a2-c2=2，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（-x0，y0），由直线方程的斜截式求得直线AP的方程，取x=0，求得y值，即可得到M坐标，同理可得N的坐标．由两点求斜率得到k1，k2，借助于A，B在椭圆C上，得到k1•k2=1，则$|{k}_{1}+{k}_{2}|=|{k}_{1}|+|{k}_{2}|≥2\sqrt{|{k}_{1}||{k}_{2}|}=2$．再由k1=k2时M，N重合，即A，B重合与条件不符，得k1≠k2．即等号不成立，从而求得k1+k2的取值范围．
解答 解：（Ⅰ）∵焦距为$2\sqrt{2}$，∴$2c=2\sqrt{2}$，$c=\sqrt{2}$．
又|F1A|+|F2A|=4，得2a=4，∴a=2．
则b2=a2-c2=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（-x0，y0），
直线AP的方程为$y-{y}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}+{x}_{0}}（x-{x}_{1}）$，令x=0，得$y=\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{0}}$．
故$M（0，\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{0}}）$，
同理可得$N（0，\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}）$．
∴${k}_{1}=-\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{\sqrt{2}（{x}_{1}+{x}_{0}）}$，${k}_{2}=-\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{\sqrt{2}（{x}_{1}-{x}_{0}）}$
因此${k}_{1}•{k}_{2}=\frac{1}{2}•\frac{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$．
∵A，B在椭圆C上，∴${{y}_{1}}^{2}=2-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}，{{y}_{0}}^{2}=2-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}$．
故${k}_{1}•{k}_{2}=\frac{1}{2}•\frac{{{x}_{1}}^{2}（2-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}）-{{x}_{0}}^{2}（2-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}）}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=1
∴$|{k}_{1}+{k}_{2}|=|{k}_{1}|+|{k}_{2}|≥2\sqrt{|{k}_{1}||{k}_{2}|}=2$．
又∵当k1=k2时M，N重合，即A，B重合，这与条件不符，∴k1≠k2．
因此k1+k2的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．
点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了“舍而不求”的解题思想方法，考查了学生的整体运算能力，是压轴题．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PC＜2，E是PB的中点．
如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=2，PC=4，∠APB=∠BPC=60°，cos∠APC=$\frac{1}{4}$．
中，
，且数列
是等比数列，则
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