Question

20．已知两点A（-1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到$\sqrt{2}$倍后得到点$Q（x，\sqrt{2}y）$满足$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=1$．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）过点B作斜率为$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的直线l交曲线C于M、N两点，且满足$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow 0$，又点H关于原点O的对称点为点G，
①求点H，G的坐标；
②试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过已知条件可得$\overrightarrow{AQ}=（x+1，\sqrt{2}y），\overrightarrow{BQ}=（x-1，\sqrt{2}y）$，利用$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=1$，计算即可；
（2）①联立直线l与曲线C的方程，利用韦达定理及$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow 0$计算即可；②联立线段MN、GH的中垂线可得交点坐标，通过计算交点到M、H的距离即可得出结论．

解答 解：（1）依据题意，有$\overrightarrow{AQ}=（x+1，\sqrt{2}y），\overrightarrow{BQ}=（x-1，\sqrt{2}y）$．
∵$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=1$，∴x²-1+2y²=1．
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）①∵直线l过点B，且斜率为$k=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$l：y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x-1）$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x-1）\end{array}\right.$，得2x²-2x-1=0．
设两曲线的交点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由韦达定理，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=1\\{y_1}+{y_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\end{array}\right.$．
又∵$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow 0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{G}+{x}_{1}+{x}_{2}=0}\\{{y}_{G}+{y}_{1}+{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，∴x_G=-1，y_G=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又点G与点H关于原点对称，
于是可得点$H（-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$、$G（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．
②结论：四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为${O_1}（\frac{1}{8}，-\frac{{\sqrt{2}}}{8}）$，半径为$\frac{{3\sqrt{11}}}{8}$．
理由如下：
若线段MN、GH的中垂线分别为l₁和l₂，则有${l_1}：y-\frac{{\sqrt{2}}}{4}=\sqrt{2}（x-\frac{1}{2}）$，${l_2}：y=-\sqrt{2}x$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{{\sqrt{2}}}{4}=\sqrt{2}（x-\frac{1}{2}）\\ y=-\sqrt{2}x\end{array}\right.$，解得l₁和l₂的交点为${O_1}（\frac{1}{8}，-\frac{{\sqrt{2}}}{8}）$．
因此，可算得$|{O_1}H|=\sqrt{{{（\frac{9}{8}）}^2}+{{（\frac{{3\sqrt{2}}}{8}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{11}}}{8}$，$|{O_1}M|=\sqrt{{{（{x_1}-\frac{1}{8}）}^2}+{{（{y_1}+\frac{{\sqrt{2}}}{8}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{11}}}{8}$．
所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为${O_1}（\frac{1}{8}，-\frac{{\sqrt{2}}}{8}）$，半径为$\frac{{3\sqrt{11}}}{8}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及到韦达定理、向量的坐标运算、两点间距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．