题目内容
【题目】已知椭圆
，
为椭圆的左、右焦点，点
在直线
上且不在
轴上，直线
与椭圆的交点分别为
和
，
为坐标原点.
设直线的斜率为
，证明：
问直线
上是否存在点，使得直线
的斜率
满足
？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）设出P的坐标，表示出斜率，化简可得结论；
（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，求出斜率，利用kOA+kOB+kOC+kOD＝0，即可得到结论．
因为椭圆方程为
，所以F1（﹣1，0）、F2（1，0）
设P（x0，2﹣x0），则
，
，
所以
（2）记A、B、C、D坐标分别为（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）．
设直线PF1：x＝m1y﹣1，PF2：x＝m2y+1
联立
可得
，
代入
，
可得
同理，联立PF2和椭圆方程，可得
由
及m1﹣3m2＝2（由（1）得）可解得
，或
，
所以直线方程为
或
，
所以点P的坐标为（0，2）或
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