Question

已知椭圆C₁的中心和抛物线C₂的顶点都在坐标原点O，C₁和C₂有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C₁的长轴长、短轴长及点F到C₁右准线的距离成等比数列。
（Ⅰ）当C₂的准线与C₁右准线间的距离为15时，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）设过点F且斜率为1的直线l交C₁于P，Q两点，交C₂于M，N两点。当时，求|MN|的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）设C₁：，其半焦距为c（c＞0），则C₂：，
由条件知，得a=2c，
C₁的右准线方程为，即x=4c，
C₂的准线方程为x=-c，
由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，，
从而C₁：，C₂：。
（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设，
由（Ⅰ）知C₁：，即，
由， 知x₃，x₄满足，
从而，
由条件，得，
故C₂：，
由得，所以，
于是。