Question

已知椭圆C₁的中心和抛物线C₂的顶点都在坐标原点O，C₁和C₂有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C₁的长轴长、短轴长及点F到C₁右准线的距离成等比数列．
（Ⅰ）当C₂的准线与C₁右准线间的距离为15时，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）设过点F且斜率为1的直线l交C₁于P，Q两点，交C₂于M，N两点．当|MN|=8时，求|PQ|的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设C₁：（a＞b＞0），由题意知C₂：y²=4cx．由条件知a=2c．C₁的右准线方程为x=4c．C₂的准线方程为x=-c．
由条件知c=3，a=6，．由此可知C₁：，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．由，得x²-6cx+c²=0，所以x₁+x₂=6c．而|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=8c，由条件|MN|=8，得c=1．由此可知．
解答：解：（Ⅰ）设C₁：（a＞b＞0），其半焦距为c（c＞0）．则C₂：y²=4cx．
由条件知，得a=2c．C₁的右准线方程为，即x=4c．C₂的准线方程为x=-c．
由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，．
从而C₁：，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
由，得x²-6cx+c²=0，所以x₁+x₂=6c．
而|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=8c，由条件|MN|=8，得c=1．
由（Ⅰ）得a=2，．从而，C₁：，即3x²+4y²=12．
由，得7x²-8x-8=0．所以，．
故．
点评：本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．