Question

如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，

平面，∥，．

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

．解：（法一）（1）平面，平面， ．

又，，

平面

而平面

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

． 是圆的直径，．

又，，

．

平面，，

平面．

与都是等腰直角三角形．

．

，即（也可由勾股定理证得）．

，     平面．

而平面，

．…………………………………………6分

（2）延长交于，连，过作，连结．

由（1）知平面，平面，

．

而，平面．

平面，

，

为平面与平面所成的

二面角的平面角．     …………8分

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，则． 

是等腰直角三角形，．

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．　 ……………12分

（法二）（1）同法一，得．             ……………3分

如图，

以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．

由已知条件得，

．

由，

得， ．   ………6分

（2）由（1）知．

设平面的法向量为，

由 得，

令得，，             ……………9分

由已知平面，所以取面的法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．  …………12分