Question

20．对于给定的正数K，定义函${f_K}（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x），f（x）≤K\\ K，f（x）＞K\end{array}\right.$．已知函数$f（x）={（\frac{1}{3}）^{{x^2}-4x}}（0≤x＜5）$，对其定义域内的任意x，恒有f_k（x）=f（x），则（　　）

• A． K的最小值为$\frac{1}{243}$
• B． K的最大值为$\frac{1}{243}$
• C． K的最小值为81
• D． K的最大值为81

Answer 1

分析 由已知条件可得，K≥f（x）在[0，5）恒成立，即K≥f（x）_max，结合指数函数与二次函数的性质可求函数f（x）的最小值，从而可求

解答 解：因为对于任意的x∈[0，5），恒有f_k（x）=f（x），
由已知条件可得，K≥f（x）在[0，5）恒成立，
∴K≥f（x）_max，
设t=x²-4x=（t-2）²-4，
∴t=x²-4x，在[0，2）上单调递减，在[2，5）上单调递增，
∵y=$（\frac{1}{3}）^{x}$在R上为减函数，
∴f（x）=$（\frac{1}{3}）^{t}$在[0，2）上单调递增，在[2，5）上单调递减，
∴f（x）_max=f（2）=81，
∴K≥81，
即k的最小值为81，
故选：C．

点评 本题以新定义为载体，主要考查了阅读、转化的能力，解决本题的关键是利用已知定义转化为函数的恒成立问题，结合二次函数的性质可进行求解．