Question

3．如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，点C为弧$\widehat{AB}$的中点，SO=AB；
（1）证明：AB⊥平面SOC；
（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成角；（结果用反三角函数表示）

Answer 1

分析 （1）由圆的性质得出AB⊥OC，由SO⊥平面ABC得出SO⊥AB，故而AB⊥平面SOC；
（2）连结OD，由AB⊥平面SOC可知∠ADO为所求角，设圆锥底面半径为a，求出OD，得出tan∠ADO．

解答 证明：（1）∵SO⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴SO⊥AB，
∵C为$\widehat{AB}$的中点，
∴AB⊥OC，又SO?平面SOC，OC?平面SOC，SO∩OC=O，
∴AB⊥平面SOC．
（2）连结OD．
∵AB⊥平面SOC，
∴∠ADO为AD与平面SOC所成的角，
设OA=a，则OC=a，SO=AB=2a，
∴SC=$\sqrt{S{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，∴OD=$\frac{1}{2}SC=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
∴tan∠ADO=$\frac{OA}{OD}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴AD与平面SOC所成角为arctan$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．