Question

13．如图，直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．
（1）求证：C′E⊥平面BCE；
（2）求直线AB′与平面BEC′所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由△ACE和△A′C′E是等腰直角三角形得∠A′EC′=∠AEC=45°，于是C′E⊥CE，结合C′E⊥BE得出C′E⊥平面BCE；
（2）证明BC⊥平面ACC′A′得出AC⊥BC，以C为原点建立空间直角坐标系，设AC=1，求出$\overrightarrow{AB′}$和平面BC′E的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线AB′与平面BEC′所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB′}$＞|．

解答 证明：（1）在矩形ACC′A′中，∵E是AA′的中点，AA′=2AC，
∴EA=AC=EA′=A′C′，
∴∠A′EC′=∠AEC=45°，
∴∠CEC′=90°．即C′E⊥CE．
又C′E⊥BE，CE?平面BCE，BE?平面BCE，BE∩CE=E，
∴C′E⊥平面BCE．
（2）∵C′E⊥平面BCE，BC?平面BCE，
∴C′E⊥BC，
又CC′⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC′⊥BC，又C′E，CC′?平面ACC′A′，C′E∩CC′=C′，
∴BC⊥平面ACC′A′，又AC?平面ACC′A′，
∴BC⊥AC．
以C为原点，以CA，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
设AC=BC=1，则CC′=2．
∴A（1，0，0，），B（0，1，0），B′（0，1，2），E（1，0，1），C′（0，0，2）．
∴$\overrightarrow{AB′}$=（-1，1，2），$\overrightarrow{BE}$=（1，-1，1），$\overrightarrow{BC′}$=（0，-1，2）．
设平面BC′E的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC′}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y+z=0}\\{-y+2z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB′}$=3，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{AB′}$|=$\sqrt{6}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB′}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB′}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB′}|}$=$\frac{1}{2}$．
∴直线AB′与平面BEC′所成角的正弦值为$\frac{1}{2}$，
∴直线AB′与平面BEC′所成角为30°．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．