Question

（本小题满分13分）已知曲线C：，O为坐标原点

（Ⅰ）当m为何值时，曲线C表示圆；

（Ⅱ）若曲线C与直线 交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值．

Answer 1

（Ⅰ）m＜5；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据曲线方程满足圆的条件求出m的范围即可；

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意OM⊥ON，得到，利用平面向量数量积运算法则列出关系式，联立直线与圆方程组成方程组，消去x得到关于y的一元二次方程，根据直线与圆有两个交点，得到根的判别式大于0，求出m的范围，利用韦达定理求出y1+y2与y1y2，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在直线x+2y﹣3=0上，表示出x1与x2，代入得出的关系式中，整理即可确定m的值．

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）由题意可知：D2+E2﹣4F=（﹣2）2+（﹣4）2﹣4m=20﹣4m＞0，

解得：m＜5；

（Ⅱ）设，

由题意OM⊥ON，得到，即: ①，

联立直线方程和圆的方程： ，

消去x得到关于y的一元二次方程：，

∵直线与圆有两个交点，

∴△=b2﹣4ac=122﹣4×5×m＞0，即m+3＜，即m＜，

又由（Ⅰ）m＜5，∴m＜，

由韦达定理： ， ②，

又点在直线上，

∴，

代入①式得： ，即，

将②式代入上式得到：3+m﹣+9=0，

解得：m=＜，

则m=．

考点：①直线与圆的位置关系；②根的判别式；③直线与圆的交点；④韦达定理；⑤平面向量的数量积运算.