Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，BD∩AC=0，M是线段D₁O上的动点，过点M做平面ACD₁的垂线交平面A₁B₁C₁D₁于点N，则点N到点A距离的最小值为（　　）

• A、

  2

• B、

  6

  2

• C、

  2 3

  3

• D、1

Answer 1

分析：根据正方体的结构特征，可证，N在B₁D₁上，过N作NG⊥A₁B₁，交A₁B₁于G，设NG=x，利用勾股定理构造关于x的函数，求函数的最小值．

解答：解：∵平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁，又MN⊥平面ACD₁，
∴MN?平面BDD₁B₁，∴N∈B₁D₁
过N作NG⊥A₁B₁，交A₁B₁于G，将平面A₁B₁C₁D₁展开，如图：

设NG=x，（0≤x≤1），
∴AN=

12+(1-x)2+x2

=

2x2-2x+2

=

2(x- 1 2 )2+ 3 2

≥

6

2

，
当x=

1

2

时最小．
故选B．

点评：本题考查了正方体的结构性质，考查了函数思想的应用，构造函数模型，利用二次函数求最小值是解题的关键．