Question

18．设数列{a_n}前n项和S_n，且a₁=1，{S_n-n²a_n}为常数列，则S_n=$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 由已知可得S_n=n²a_n，进一步得到$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$，然后利用累积法求得数列通项公式，再由裂项相消法求数列的前n项和．

解答 解：由a₁=1，得${S}_{1}-{1}^{2}{a}_{1}=0$，
又{S_n-n²a_n}为常数列，
∴S_n=n²a_n，①
S_n-1=（n-1）²a_n-1（n≥2），②
①-②得S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1
∴a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1 ．
化简得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{3}{5}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$．
把上面各式相乘得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{2}{n（n+1）}$．
∴${a}_{n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$（n≥2）．
已知a₁=1适合上式．
则${S}_{n}=2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．