Question

（09年朝阳区二模理）（14分）

如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与平面所成的角为，且，.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求点到平面的距离；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

解析： 证明：（Ⅰ）因为底面，

所以是与平面所成的角.

由已知， 所以.

易求得，，又因为，

所以， 所以.

因为底面，平面,

所以.  由于，

所以平面.                             ………………………4分

解：（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，平面.又因为平面,

所以平面平面，

过作于，（如图）则平面，

所以线段的长度为点到平面的距离.

在中，易求得,  所以.

所以点到平面的距离为.                     ………………………9分

（Ⅲ）设为中点. 连结，由于底面，

且平面，则平面平面.

 因为，所以平面.

过作，垂足为，连结，

由三垂线定理可知，

所以是二面角的平面角.

容易证明∽，则，

因为，，，

所以.

在中，因为，所以，

所以二面角的大小为.        ………………………14分

解法二:

因为底面，

所以是与平面所成的角.

由已知，

所以.

建立空间直角坐标系（如图）.

由已知，为中点.

于是、、、

、.

（Ⅰ）易求得，

， .

因为, ,

所以，.

因为，所以平面.         ………………………4分

（Ⅱ）设平面的法向量为，

由  得   解得，

所以.    又因为,

所以点到平面的距离.   …………………9分

（Ⅲ）因为平面，所以是平面的法向量， 易得.

由（Ⅱ）知平面的法向量，

所以.

所以二面角的大小为.        ………………………14分