Question

（本小题12分）椭圆:的两个焦点为,点在椭圆上，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

试题分析：

(Ⅰ)依题可设椭圆方程为,

因为点在椭圆上，所以 ，则     ……2分

在△中，， 故,

从而，

 所以椭圆的方程为 .                                    ……4分

(Ⅱ)（解法一）设的坐标分别为。

   已知圆的方程为,所以圆心的坐标为.

   从而可设直线的方程为,

   代入椭圆的方程得.……8分

   因为关于点对称. 所以 且  

   解得，所以直线的方程为 即

   (经检验，所求直线方程符合题意)                                 ……12分

（解法二）已知圆的方程为，故圆心为.

          设的坐标分别为。

          由题意  ①

                ②

         由①－②得：        ③

         因为关于点对称，所以，

         代入③得， 即直线的斜率，               ……10分

         所以直线的方程为，即

        (经检验，所求直线方程符合题意.)                            ……12分

考点：本小题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力和计算能力.

点评：直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线等）的位置关系是每年高考的重点也是难点，学生在复习备考时，要了解直线与圆锥曲线的位置关系问题的解决方法，尤其是通性通法和常用技巧，如设而不求、点差法等，另外还要注意计算能力的培养与训练，养成良好的运算习惯.