Question

已知球O的半径为R，A、B、C为球面上的三点，若任意两点的球面距离均为，则球O的体积与三棱锥O-ABC的体积之比为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   4π
4. D.
   8π

Answer 1

D
分析：先根据球O的半径为R，A、B、C为球面上的三点，任意两点的球面距离均为，可得四面体O-ABC为正四面体
过点O作OD⊥平面ABC，垂足为D，连接AD，分别计算球O的体积与三棱锥O-ABC的体积，再求比值．
解答：由题意
∵球O的半径为R，A、B、C为球面上的三点，任意两点的球面距离均为，

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=
∴四面体O-ABC为正四面体
过点O作OD⊥平面ABC，垂足为D，连接AD，则
∴
∴=
又∵
∴球O的体积与三棱锥O-ABC的体积之比为
故选D．
点评：本题以球为载体，考查球面距离，考查三棱锥的体积、球的体积公式，解题的关键是根据球面距离得出四面体为正四面体．