Question

已知球O的半径为R，A、B、C为球面上的三点，若任意两点的球面距离均为

πR

3

，则球O的体积与三棱锥O-ABC的体积之比为（　　）

• A．

  2 2 π

  3

• B．

  2 π

  3

• C．4

  2

  π
• D．8

  2

  π

Answer 1

分析：先根据球O的半径为R，A、B、C为球面上的三点，任意两点的球面距离均为

πR

3

，可得四面体O-ABC为正四面体
过点O作OD⊥平面ABC，垂足为D，连接AD，分别计算球O的体积与三棱锥O-ABC的体积，再求比值．

解答：解：由题意
∵球O的半径为R，A、B、C为球面上的三点，任意两点的球面距离均为

πR

3

，

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=

π

3

∴四面体O-ABC为正四面体
过点O作OD⊥平面ABC，垂足为D，连接AD，则AD=

3

3

R
∴OD=

R2- 1 3 R2

=

6

3

R
∴VO-ABC= 

1

3

×

3

4

R2×

6

3

R=

2

12

R3
又∵V球=

4

3

π  R3
∴球O的体积与三棱锥O-ABC的体积之比为

4

3

π R3：

2

12

R3=8

2

π
故选D．

点评：本题以球为载体，考查球面距离，考查三棱锥的体积、球的体积公式，解题的关键是根据球面距离得出四面体为正四面体．