Question

16．如图，在五面体P-ABCD中，CB⊥平面ABP，BC∥AD，AD=2BC=2，且BA=BP=2，BA⊥BP．
（1）点E为棱PD的中点，点F是平面APC上的一点，求直线PD与平面APC所成角的正弦值；
（2）求平面PAD与平面PBD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以BA，BP，BC分别为x，y，z轴建立坐标系，求出平面APC的法向量，$\overrightarrow{PD}$，利用向量的夹角公式，即可求直线PD与平面APC所成角的正弦值；
（2）求出平面PAD与平面PBD的法向量，利用向量的夹角公式求平面PAD与平面PBD所成的锐二面角的余弦值．

解答 解：（1）以BA，BP，BC分别为x，y，z轴建立坐标系，则B（0，0，0），A（2，0，0），P（0，2，0），C（0，0，1），D（2，0，2），E（1，1，0），
∴$\overrightarrow{PD}$=（2，-2，2），$\overrightarrow{AP}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-2，0，1），
设平面APC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2x+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），则直线PD与平面APC所成角的正弦值为$\frac{4}{\sqrt{12}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
（2）$\overrightarrow{PA}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，0，2），
设平面PAD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}-2{y}_{1}=0}\\{{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，1，0），
$\overrightarrow{PB}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{PD}$=（2，-2，2），
设平面PBD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{-2{y}_{2}=0}\\{2{x}_{2}+2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，-1），
∴平面PAD与平面PBD所成的锐二面角的余弦值为$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查用空间向量求平面间的夹角、直线与平面所成的角，考查向量方法的运用，正确求平面的法向量是关键．