Question

【题目】在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，满足________，________；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列.

（1）求和的通项公式；

（2）证明：.

Answer 1

【答案】（1）选法见解析，，；（2）证明见解析.

【解析】

（1）若选择①②

先由，当≥2时，，两式相减整理得 ，再求出，进而说明数列是等比数列，求出，设正项等差数列的公差为，由已知条件求出，进而求得；

若选择②③

先由，当≥2时，，两式相减整理得 ，再求出，进而说明数列是等比数列，求出，设正项等差数列的公差为，由已知条件求出，进而求得；

（2）由（1）求得，再求，即可证明结论.

（1）解法一：选择①②

当时，由得

，

两式相减，得，即，

由①得，即，

∴，得，

∴，∴为，公比为的等比数列，

∴.

设等差数列的公差为，，且，，成等比数列.

，即，

解得，（舍去），∴

解法二：选择②③

当时，由③，

得，

两式相减，得，∴，

又，得，

∴，∴为，公比为的等比数列，

∴.

（以下同法一）

（2）证明：由（1）得

则

.