题目内容
19．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-1，-1），则双曲线的标准方程为（ ）| A． | $\frac{x^2}{2}$-$\frac{y^2}{2}$=1 | B． | $\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{4}$=1 | C． | $\frac{x^2}{4}$-y2=1 | D． | $\frac{x^2}{2}$-y2=1 |
分析 设出双曲线的左顶点和抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，求得p=a=b=2，即可得到所求双曲线的方程．
解答 解：设双曲线的左顶点为（-a，0），
抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
由题意可得a+$\frac{p}{2}$=3，
双曲线的渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
抛物线的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由题意可得-$\frac{p}{2}$=-1，-$\frac{b}{a}$•$\frac{p}{2}$=-1，
解得p=2，a=2，b=2，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故选：B．
点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和准线，以及双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
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14．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ | B． | $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ | C． | $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$ |