Question

设函数f（x）=2x²，g（x）=alnx（a∈R）
（1）设a=4e，证明：f（x）≥g（x）；
（2）令h（x）=

1

2

xf（x）-3x²g′（x），若h（x）在（-2，2）内的值域为闭区间，求实数a的取值范围；
（3）求证：

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）若y=2x²-4elnx，若令y′＞0即可得到x＞

e

，故可得函数y=2x²-4elnx的单调区间，则y=2x²-4elnx在x=

e

时取得极小值也是最小值，且最小值为0，即得证；
（2）由于h（x）=x³-3ax，则h′（x）=3x²-3a，令h′（x）=0得到x=±

a

，由于h（x）在（-2，2）内的值域为闭区间，则

a

＜2，即得实数a的取值范围；
（3）构造函数H（x）=

lnx

x2

，求导函数，确定函数的单调性与极值，即可不等式

lnx

x2

≤

1

2e

都成立，得到对x∈（0，+∞）此利用放缩法及裂项法，即可证得结论．

解答：解：（1）证明：由于函数f（x）=2x²，g（x）=4elnx，
则y=2x²-4elnx，y′=4x-

4e

x

（x＞0）
令y′＞0时，x＞

e

，
故函数y=2x²-4elnx在（

e

，+∞）上递增；在（0，

e

）上递减，
则y=2x²-4elnx在x=

e

时取得极小值也是最小值，且最小值为0，
故f（x）≥g（x）；
（2）解：由于h（x）=

1

2

xf（x）-3x²g′（x）=x³-3ax，
则h′（x）=3x²-3a，令h′（x）=0，解得x=±

a

，
由于h（x）在（-2，2）内的值域为闭区间，
则

a

＜2，即a＜4
故实数a的取值范围是：a＜4；
（3）证明：设函数H（x）=

lnx

x2

，则H′（x）=

1-2lnx

x3

．
令H′（x）=0，得x=

e

．
当x∈（0，

e

）时，H′（x）＞0，故函数H（x）在（0，

e

）上递增；
当x∈（

e

，+∞）时，H′（x）＜0，故函数H（x）在（

e

，+∞）上递减；
所以H（x）≤H（

e

）=

ln( e )

( e )2

=

1

2e

，
对任意的x＞0，不等式

lnx

x2

≤

1

2e

都成立．
故有

lnx

x4

=

lnx

x2

•

1

x2

≤

1

2e

•

1

x2

．
当n=1时，结论显然成立；
当n≥2时，有：

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

=
0+

ln2

22

•

1

22

+

ln3

32

•

1

32

+…+

lnn

n2

•

1

n2

≤

1

2e

（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）
＜

1

2e

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)•n

）
=

1

2e

[（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]
=

1

2e

（

1

1

-

1

n

）＜

1

2e

．
则

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

1

2e

×4=

2

e

，
综上可知，对任意的n∈N^*，不等式

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查构造函数，利用导函数研究函数的单调性与极值，解题的关键是构造函数、确定函数的单调性．