Question

（2010•九江二模）如图，A、B分别是椭圆

x2

4

+y2=1和双曲线

x2

4

-y2=1的公共左右顶点，P、Q分别位于椭圆和双曲线上且不同于A、B的两点，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄且k₁+k₂+k₃+k₄=0．（1）求证：O、P、Q三点共线；（O为坐标原点）
（2）设F₁、F₂分别是椭圆和双曲线的右焦点，已知PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer 1

分析：（1）先设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由k₁+k₂+k₃+k₄=0得y₁x₂-y₂x₁=0，从而得出（x₁，y₁）∥（x₂，y₂）最后有：O、P、Q三点共线；
（2）由PF₁∥QF₂知|OP|：|OQ|=

3

：

5

因为O、P、Q三点共线再结合方程思想即可求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值，从而解决问题．

解答：解：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则k₁+k₂+k₂+k₄=

y1

x1+2

+

y1

x1-2

+

y2

x2+2

+

y2

x2-2

=

2x1y1

x 2 1 -4

+

2x2y2

x 2 2 -4

…（2分）
又x₁²-4=-4y₁²，x₂²-4=4y₂²所以k₁+k₂+k₃+k₄=

2x1y2

-4 y 2 1

+

2x2y2

4 y 2 2

=

x2

2y2

-

x1

2y1

=

y1x2-y2x1

2y1y2

…（4分）       
由k₁+k₂+k₃+k₄=0得y₁x₂-y₂x₁=0
即（x₁，y₁）∥（x₂，y₂）所以O、P、Q三点共线        …（6分）
（2）F1(

3

，0)，F2(

5

，0)由PF₁∥QF₂知|OP|：|OQ|=

3

：

5

因为O、P、Q三点共线，
所以

x 2 1

x 2 2

=

3

5

…①…（7分）              
设直线PQ的斜率为k，则

x 2 1 4 +k2 x 2 1 =1 x 2 2 4 -k2 x 2 1 =1

得(

1

4

+k2)

x

2 1

=(

1

4

-k2)

x

2 2

…②
由①②得  k²=

1

16

（9分）
又k₁k₂=

y 2 1

x 2 1 -4

=

y 2 1

-4 y 2 1

=-

1

4

，k₃k₄=

y 2 2

x 2 2 -4

=

y 2 2

4 y 2 2

=

1

4

…（10分）
从而k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁k₂+k₃k₄）=2（k₁+k₂）²=
2×(

2x2y2

-4 y 2 1

)2=

1

2

×(

x1

y1

)2=

1

2

×

1

k2

=8…（12分）

点评：本题主要考查圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的综合问题、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考查学生用方程思想等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．