Question

如图，A、B、C分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的顶点和焦点，若∠ABC=90°，则该椭圆的离心率为

-1+ 5

2

．

Answer 1

分析：根据题意，在Rt△ABC中得BO²=OC•OA，化成关于a、b、c的方程，结合b²=a²-c²和离心率公式，转化成关于离心率e的方程，解之即可得到该椭圆的离心率．

解答：解：∵Rt△ABC中，OC=c，OA=a，OB=b，且OB⊥AC
∴BO²=OC•OA，即b²=ac
结合b²=a²-c²，得a²-c²=ac，即c²+ac-a²=0
两边都除以a²，得e²+e-1=0，解之得e=

-1+ 5

2

（舍负）
故答案为：

-1+ 5

2

点评：本题给出特殊的椭圆，求它的离心率．着重考查了直角三角形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．