Question

（2013•黄冈模拟）已知向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），设函数f（x）=

m

•

n

．
（I）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A=

π

3

，b=f（

5π

6

），△ABC的面积为

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用数量积运算和两角和的正弦公式及周期公式即可得出；
（II）利用特殊角的三角函数值、三角形的面积计算公式及余弦定理即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

=

3

sin2x+2+2cos2x
=

3

sin2x+cos2x+3
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+3
=2sin(2x+

π

6

)+3
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（Ⅱ）b=f(

5π

6

)=2sin

11π

6

+3=-2×

1

2

+3=2．
∴S△=

1

2

bcsinA=

3

2

，∴

1

2

×2csin

π

3

=

3

2

，解得c=1．
在△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=22+1-2×2×1×cos

π

3

=3，
∴a=

3

．

点评：本题考查了数量积运算和两角和的正弦公式及周期公式、特殊角的三角函数值、三角形的面积计算公式及余弦定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．