Question

在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线，那么，在空间直角坐标系中，任意一个三元一次方程Ax+By+Cz=D表示什么图形呢？

(1)设有点A(1，2，3)和B(2，-1，4)，求得两点距离相等的点P满足的方程，并指出方程表示什么图形；

(2)在空间直角坐标系中，任意一个三元一次方程Ax+By+Cz=D(A、B、C不同时为零)都表示什么图形.

Answer 1

【探究】  ①依题意，设M(x,y,z)为所求到A和B等距离的点，

由于|AM|=|BM|，

所以

等式两边平方，化简得2x-6y-2z-7=0,

这就是所求的平面方程，表示线段AB的垂直平分面.

②可以证明，在空间直角坐标系中，任意一个三元一次方程Ax+By+Cz=D(A、B、C不同时为零)都表示一个平面；反过来，任意一个平面的方程都是一个三元一次方程.

【规律总结】 对于特列的三元一次方程，

x=a,表示平行于xOz面的平面，且与yOz面的距离为|a|;

y=b,表示平行于xOz面的平面，且与yOz面的距离为|b|;

z=c,表示平行于xOz面的平面，且与yOz面的距离为|c|;

x=0,y=0,z=0分别表示yOz,xOz,xOy三个坐标平面.