题目内容

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1， $数学公式$ ，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M．
（1）求证：CD⊥平面BDM；
（2）求二面角A-BD-C的大小．

证明：如图以C为原点建立坐标系．

（1）B（ $\text{[math]}$ ，0，0），B₁（ $\text{[math]}$ ，1，0），A₁（0，1，1），
D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
M（ $\text{[math]}$ ，1，0）， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，-1，-1）， $\text{[math]}$ =（0， $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，
∴CD⊥A₁B，CD⊥DM．
因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，
所以CD⊥平面BDM．
（2）设BD中点为G，连接B₁G，
则G $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴BD⊥B₁G，
又CD⊥BD，∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角θ等于所求二面角的平面角，
cos $\text{[math]}$ ．
又由于二面角A-BD-C的平面角与面B₁BD与面CBD所成二面角互补
所以所求二面角的大小为arccos $\text{[math]}$ ．
分析：（1）建立空间直角坐标系，求出相关向量计算 $\text{[math]}$ 即得证，
（2）求出面B₁BD与面CBD的法向量，利用向量的数量积求解可得答案．
点评：本题以直三棱柱为载体，考查直线与平面的垂直判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．