Question

已知函数f（x）对任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n），并且x＞0时恒有f（x）＞0
（1）求证：f（x）在R上是增函数
（2）若f+f（3^x-9^x-2）＜0对?x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，由f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）及x＞0时恒有f（x）＞0可得f（x₂）与f（x₁）的大小关系，由函数单调性即可证明；
（2）f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0⇒f[（k•3^x）+（3^x-9^x-2）]＜f（0），利用函数单调性可化为（k+1）•3^x-9^x-2＜0恒成立，分离出参数k后转化为求函数最值即可．
解答：解：（1）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（m+n）-f（n）=f（m），
所以f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
又x＞0时恒有f（x）＞0，且x₂-x₁＞0，
所以f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，所以f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上为增函数；
（2）令m=n=0，则由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，
f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0⇒f[（k•3^x）+（3^x-9^x-2）]＜f（0），
由（1）知f（x）为增函数，所以（k•3^x）+（3^x-9^x-2）＜0，即（k+1）•3^x-9^x-2＜0，也即（k+1）＜，
所以f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对?x∈R恒成立，等价于（k+1）＜恒成立，
又≥2=2，当且仅当，即x=时取得等号，
所以k+1＜2，即k＜2-1，
故实数k的取值范围为：k＜2-1．
点评：本题考查函数恒成立问题，考查抽象函数单调性的判断，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题经常转化为函数最值问题解决．